4. Projecção Paralela ou Cilíndrica (Perspectiva Rápida)

Posições do objecto em relação ao plano de projecção diferente das posições conducentes às Projecções Ortogonais Múltiplas (Vistas), isto é, com ângulos entre os eixos dos referenciais associados ao objecto e ao plano de projecção diferentes de 0º, 90º ou 180º conduzem a outros tipos de projecção paralela. Conforme a direcção das projectantes, assim será ortogonal ou oblíqua e simula a duas dimensões a percepção espacial dada pela visão.

Esta representação por resultar de projectantes paralelas corresponde, como se referiu, a uma situação irreal (observador a uma distância infinita do plano de projecção) mas inequívoca do ponto de vista técnico.

Estes modos de representação que permitem uma visualização global dos objectos, e a que corresponde apenas uma projecção e consequentemente um único plano de projecção, são vulgarmente designados de perspectivas rápidas.

Esta designação deve-se à relativa facilidade e "rapidez" com que se obtêm, face à morosidade da perspectiva rigorosa (projecção central).

 

[A descrição e análise da Projecção Central, de momento não está disponível neste "sítio"]

 

 


 

 

seta4.1. Oblíqua  (Cavaleira, Gabinete e Militar)  

Na projecção oblíqua (projecção cilíndrica de projectantes oblíquas ao plano de projecção), a face do objecto paralela ao plano de projecção (ângu­los entre os eixos dos referenciais associados respectivamente ao objecto e ao plano de projecção de 0º) aparece sempre em verdadeira grandeza qual­quer que seja a direcção das projectantes.

Na realidade a perspectiva assim obtida, resulta das projecções de três eixos por forma a apresentarem dois ângulos de 135º e um ângulo de  90º, em que  (Fig. 4.1):

As alturas e larguras são marcadas em verdadeira grandeza, sendo as profundidades afectadas de um coeficiente de redução r = 0,5: perspectiva de gabinete, e r = 1,0: perspectiva cavaleira.

Verifica-se que o prolongamento do eixo C coincide com o traçado da bissectriz do ângulo formado pelos outros dois e determina uma linha de 45º. A esta inclinação corresponde o designado ângulo de fuga que pode assumir valores de 45º, 30º e 60º.Quanto ao coeficiente de redução r pode assumir valores de: 1, 0.75, 0.6, 0.5 ou 0.4.

A relação ângulo de fuga 45º vs. coeficiente de redução 0.5, é a mais fre­quente só sondo substituída quando se pretende criar algum efeito especial.

A utilização de outras relações reserva-se para casos de apresentação de eleitos particulares de alguma das faces, relativamente às outras.  

 

Fig. 4.1 -Obtenção da perspectiva de gabinete.

A - eixo das alturas; B - eixo das larguras; C- eixo das profundidades

seta

 

 


 

 

4.2.  Ortogonal: Axonométrica (Trimétrica, lsométrica e Dimétrica)

Conforme referido, os diferentes tipos do projecção ortogonal axonométrica resultam para um feixe de projectantes paralelo (observador a uma distância infinita do plano de projecção), das infinitas posições possíveis do objecto, isto é dos diferentes ângulos possíveis de estabele­cer, entre os eixos dos referenciais associados respectivamente ao objecto e ao plano de projecção.

São de considerar as situações já caracterizadas e a que correspondem as perspectivas (projecção paralela ortogonal axonométrica) Trimétrica, lsométrica e Dimétrica.

 

4.2.1. Trimétrica  

Esta perspectiva resulta do tacto de o objecto ter todas as faces contidas em planos oblíquos ao plano de projecção (Fig. 4.2)  

 

Fig. 4.2 - Posição possível do objecto para obtenção de perspectiva trimétrica.

 

Os eixos com que esta perspectiva se apresenta formam entre si ângu­los de valor variável conforme a projecção. Considera-se no entanto, uma aresta em verdadeira grandeza correspondendo a uma das direcções dos eixos (Fig. 4.3).

Somente as alturas são representadas em verdadeira grandeza sendo as outras dimensões sujeitas a coeficientes de redução. Os conjuntos mais comuns para os ângulos α e β coeficientes de redução segundo A, B e C, são os seguintes:

 

Ângulo α

Ângulo β

Eixo A

Eixo B

Eixo C

5º 10’

17º 50’

1

0.9

0.5

9º 50’

24º 30’

1

0.9

0.6

 14º 30‘

26º 40’

1

0.9

0.7

11º 50’

16º

1

0.8

0.7

 

Fig. 4.3 - Obtenção da perspectiva trimétrica.

 

Este tipo de perspectiva implica uma execução ainda algo morosa dada a existência de três (tri) escalas (métricas) diferentes, razão pela qual o seu uso não é multo comum, preferindo-se dar primazia às dimétrica e isométrica, que se constituem como casos particulares da trimétrica.

 

4.2.2.  Isométrica

De entre as projecções axonométricas, a isométria é a mais utilizada prin­cipalmente porque não carece de coeficientes de redução (r = 1) e os ângu­los de fuga são ambos de 30º permitindo assim obter perspectivas "verdadeiramente rápidas" (Fig. 4.4).

No entanto é a que apresenta visualmente maior distorção cru relação ao modelo real, pelo que se se pretende uma mais próxima do modo como se "vê" o objecto real deve optar-se por uma representação em dimetria.

No caso particular da isometria do cubo, dado que uma da suas diago­nais é perpendicular ao plano de projecção a sobreposição das arestas visí­veis e invisíveis determina um ponto "ao centro" da figura obtida, que não é mais do que a coincidência dos extremos de um segmento de topo (a diagonal do cubo).  

 

Fig. 4.4 - Obtenção de perspectiva isométrica.  

 

4.2.3. Dimétrica

Neste tipo de perspectiva utilizam-se dois coeficientes de redução: r = 1 e portanto dimensões em verdadeira grandeza nos eixos das alturas e larguras e r = 0.6 e portanto redução de metade pana a dimensão da profun­didade (Fig. 4.5).

O eixo B (das larguras) não sofre redução e apresenta um ângulo de pequeno valor com a horizontal admitindo-se no entanto o coeficiente de redução r = 1.  

 

Fig. 4.5 - Obtenção de perpectiva dimétnica.

 

Seguidamente apresenta-se uma tabela com ângulos de fuga e coeficientes de redução utilizados.

 

Ângulo α

Ângulo β

Eixo A

Eixo B

Eixo C

42º

1

1

0.5

10º 22’

39º 49’

1

1

0.6

 14º 10‘

37º 55’

1

1

0.7

18º 40’

35º 40’

1

1

0.8

 

seta

 

 


 

 

seta4.3. Desenho de perspectivas rápidas  

Para a obtenção das perspectivas descritas, embora já limitado a muito pouca utilização, em detrimento da utilização de sistemas informáticos e software de Desenho Assistido por Computador (Computer Aided Drafting – CAD) ou de um modo ainda mais sofisticado, sistemas de Projecto Assistido por Computador (Computer Aided Design – sob a mesma sigla CAD), recorre-se a material de desenho adequado para perspectivas ou, mais desejável, à capacidade de desenho à mão livre.

 

Assim, para o traçado de perspectivas cavaleiras pode-se recorrer a réguas em T e esquadros de 45º dado que o seu ângulo de fuga se estabelece normalmente com este valor. As perspectivas dimétricas podem ser executadas usando régua em T escantilhões dimétricos contendo as direcções axonométricas deste tipo de perspectiva ou ainda usando um papel próprio onde estão impressas linhas em forma de malha de módulo quadrangular formando com a horizontal ângulos iguais ao das direcções dimétricas (papel recticulado dimétrico) - Fig. 4.6-a).

 

Para o traçado das perspectivas isométnicas além do uso da régua T, utilizam-se esquadros de 30º, escantilhões isométricos, ou papel base para o desenho de isometrias (papel recticulado isométrico) - Fig. 4.6-b).

 

Fig. 4.6 - Papel Recticulado (Escala em que é vulgarmente comercializado)

a)  Dimétrico; b)  Isométrico  

 

A capacidade de desenho à mão livre persiste insusbtituível: há situações em que pela sua emergência – durante um processo de execução, ou no decurso de uma obra ou mesmo numa reunião em que determinada decisão possa depender da clareza de comunicação de uma ideia correspondendo a uma configuração volumétrica - a capacidade de quase de imediato se esboçar, à mão livre, pode ser determinante dessa decisão.
Seja recorrendo a material de desenho, à mão livre ou por recurso a meios informáticos e sistemas CAD, as próximas decisões a tomar no âmbito da obtenção do desenho, consistem na escolha da posição segundo a qual se representará o objecto a perspectivar e no tipo de perspectiva a usar para que se apresentem visíveis, o maior número de pormenores possível. Finalmente um outro aspecto a considerar consiste no modo de obter a própria perspectiva em si, para o que existem basicamente dois métodos: o da envolvente (paralelepípedo circunscrito) e o das coordenadas:

 

O primeiro consiste em determinar segundo as três dimensões e construir perspectivado (sólido envolvente) com pormenores do objecto (Fig. 4.7).

O segundo método consiste em se considerar um dos planos que contenha  simultaneamente uma das faces do objecto e duas das direcções axonométricas e construir toda a perspectiva utilizando este plano como referência, para marcação dos vértices da peça definidos por coordenadas em relação ao plano de referência considerado.  

 

Fig. 4.7 - Sequência para a obtenção da representação em perspectiva de uma peça

 

 


 

 

4.4. Representação de circunferências em perspectiva

De notar que as representações em perspectiva apresentadas revelam-se eficazes para a representação de objectos de arestas rectilíneas - Tratar-se-ão de seguida, situações que incluam linhas curvas sem particular arcos de circunferência.

 

4.4.1. Isométrica

Na perspectiva isométrica qualquer que seja a direcção axonométrica as circunferências poderão ser apresentadas por ovais de quatro centros, inscritas em quadrados perspectivados como se pode observar na Fig. 4.8.  

 

Fig. 4.8 - Traçado de circunferência em Isometria

 

4.4.2. Dimétrica

Na perspectiva dimétrica é não obstante a consideração de um coefi­ciente de redução significativo, existem construções goométricas que per­mitem a representação com bastante rigor, sendo de considerar duas situações:

 

a) Circunferência em faces definidas por direcções com igual coeficiente de redução (Fig. 4.9-a).

Esta construção executa-se com base no traçado da oval. Considera-se o quadrado perspectivado que circunscreve a circunferência, e pelos pontos médios levantam-se perpendiculares cujos portos de cruzamento das diagonais definem os quatro centros da oval.

 

b) Circunferência em faces definidas por direcções com coeficiente de redução diferente (Fig. 4.9-b).

Nesta construção determinam-se os dois eixos da elipse inscrita num quadrado perspectivado e nas direcções desses eixos faz-se centro para tra­çar os quatro arcos que formam a elipse cujos ralos terão que ser determinados previamente:

Prolongando o eixo menor da elipse e fazendo centro no ponto médio Ml como mostra a figura traça-se um raio R, cuja relação com o diâmetro da circunferência inscrita é de A = 1,228 D (relação calculada para ocaso mais comum de dimetria) e que irá determinar o ponto Cl, ou seja o primeiro centro. Procedimento idêntico deve fazer-se para determinar o centro C2, com base no ponto M2 e o raio R = 0.086 D.

 

Fig. 4.9 - Traçado de circunferência em Dimetria.

4.4.3. Outros casos

Na perspectiva cavaleira existe uma face que se encontra na sua totali­dade em verdadeira grandeza. A representação de arcos de circunferência neste plano é imediata, nas restantes situações em faces onde se aplicam coeficientes de redução estes mesmos arcos tomam configurações elípticas cujo rigor de representação é apenas aproximado sendo de evitar sem­pre que possível.

Na perspectiva trimétrica e perante os coeficientes de redução conside­rados torna-se desaconselhável a representação de objectos contendo linhas curvas. seta

 

 


 

 

seta4.5 Determinação em perspectiva das relações entre elementos geométricos

A determinação das relações de intersecção, paralelismo e perpendicularidade em projecção ortogonal correspondente à adopção de dois ou mais planos de projecção (âmbito das projecções ortogonais múltiplas).

Em particular e nas Projecções Ortogonais Múltiplas, a determinação das relações entre elementos geométricos resulta assim, directamente da aplicação do conceito de projecção ortogonal. Situações envolvendo planos oblíquos ou superfícies não planas são em termos práticos determinadas a partir da correspondência sucessiva entre as várias vistas consideradas.

Na representação de perspectivas em que se considera apenas um só plano de projecção e portanto uma só projecção do objecto, tem particular interesse a determinação directa (e em perspectiva) das relações de Intersecção (de rectas com planos e entre planos) e de paralelismo entre elementos geométricos.

Para o efeito deve considerar-se ainda como representação auxiliar a perspectiva de um elemento associado ao objecto: nada mais, nada menos que o próprio referencial cartesiano.

As relações de perpendicularidade dada a sua característica de "não aparência" contrariamente ao que acontece nas relações de paralelismo, implica necessariamente o recurso às projecções ortogonais múltiplas e o recurso a procedimentos da Geometria Descritiva, que lhe são subjacentes. Com efeito enquanto duas rectas paralelas apresentam-se como tal, quer em perspectiva quer em projecções ortogonais, situação semelhante não acontece como se sabe, em relação a rectas e a outros elementos geométricos para os quais se pretenda estabelecer urna relação de perpendicularidade.

Importa entretanto notar que quer ao nível da determinação de relações de intersecção quer de paralelismo os procedimentos que a seguir se ilus­tram, com base em perspectivas rápidas são igualmente válidos em pers­pectiva rigorosa, embora obviamente de resolução mais complicada e morosa.

 

4.5.1. Intersecção

A determinação da intersecção parte da aplicação de dois princípios fundamentais já referidos ao longo do Cap. 3.:

 

- Todas as rectas contidas num mesmo plano intersectam-se (ou são paralelas - caso particular de intersecção).

- A intersecção de um plano por sucessivos planos paralelos determina no plano dado, rectas paralelas.

 

Em termos práticos é cómodo o recurso à sequência de procedimentos para determinação da intersecção de uma recta com um plano.

 

Assim e para o caso da Fig. 4.10-a) em que se pretende determinar a inter­secção da recta r com o plano α (ambos em perspectiva), estabelece-se um plano¶ (projectante) contendo a recta r e procura-se a intersecção deste com o plano a dado.

Para o efeito ter-se-á em conta que os segmentos AC e ML existem num mesmo plano (do referencial). Estes segmentos deverão necessariamente ter o ponto de intersecção L (Fig. 4.10- b).

 

Fig. 4.10 - Determinação em perspectiva da intersecção de uma recta com um plano.

 

Entretanto verifica-se que os pontos L e B estão contidos num mesmo plano de nível e o segmento LB é uma recta de nível do plano α dado. Por outro lado, o segmento MV é uma recta de nível do plano ¶, cuja intersec­ção com LB determina o ponto I pertencente simultaneamente a α e a ¶ (Fig. 4.10-c).

Analogamente os segmentos AC e MU respectivamente dos planos a α e ¶   existem num mesmo plano, pelo que a sua inevitável intersecção deter­mina o ponto J.

O segmento I J define a recta s que constitui a intersecção dos planos α e  ¶.

A intersecção das rectas r e s determina o ponto P, intersecção do plano α e da recta r dados, pretendido.

Tem ainda interesse representar a invisibilidade da recta r (suporte do seg­mento MN), que deve ser determinada por observação da orientação rela­tiva do segmento MN dado e do segmento AB do plano α, em especial a partir do ponto X de intersecção aparente entre AB e MN.

A determinação em perspectiva da intersecção de planos oblíquos quais­quer, podendo eventualmente corresponder a faces de uma mesma peça ou de peças distintas baseia-se numa aplicação dos conceitos e procedi­mentos apresentados.

Assim, considere-se o caso dos planos α e β definidos respectivamente pelos pontos A, B e C, P, O e R (Fig. 4.11-a), cuja intersecção se pretende obter.

 

Fig. 4.11- Intersecção de planos em perspectiva.

 

Com efeito, poder-se-ão considerar os planos ¶1 e ¶projectantes con­tendo respectivamente CB e AB do plano α (Fig. 4.11-b).

A intersecção destes planos com o plano β determina respectivamente as rectas I e j cuja intersecção com CB e AB permite obter os pontos I e J respectivamente, que definem a intersecção pretendida.

Na Fig. 4.12 apresenta-se um exemplo de carácter geral de intersecção em perspectiva. Trata-se neste caso da intersecção de uma recta com um cone. O recurso aos conceitos já apresentados permite obter a solução pretendida. De notar que nem sempre a escolha de um plano projectante como plano auxiliar contendo a recta dada é a situação mais adequada. Neste caso e em termos práticos foi adoptado o plano obliquo definido pelos pontos V1 P e P1 e os planos projectantes ¶1 e 2.

 

Fig. 4.12 - Determinação da intersecção de uma recta com uma superfície não plana, em perspectiva

 

4.5.2. Paralelismo  

Para que duas rectas sejam paralelas é necessário que possam ficar con­tidas num mesmo plano ou em planos paralelos (Fig. 413-a). Duas rectas paralelas em projecções ortogonais múltiplas são-no também em pers­pectiva.

De notar no entanto que embora em perspectiva duas rectas se apresen­tem aparentemente paralelas podem não o ser se não existirem num mesmo plano (Fig. 4.13-b), ou se mesmo existindo não puderem constituir as Inter­secções desse plano com dois planos paralelos entre si.

Em termos práticos, a determinação de rectas paralelas pressupõem a consideração de um plano auxiliar ¶1 (em geral projectante) contendo a uma recta dada r (Fig. 4.14-a).

 

Fig. 4.13 - Paralelismo de rectas em perspectiva

a) As  rectas r, s e t são paralelas; b) As rectas r e s embora aparentemente paralelas, não o são na realidade.

 

Após o estabelecimento de um plano paralelo r2, tendo em conta a representação plana do próprio referencial, é possível obter uma recta s aparentemente paralela à recta dada mas que uma vez comida em 2 será necessariamente paralela à recta r dada (Fig. 4.14.b).

No caso da determinação de planos paralelos em perspectiva, mais uma vez os conceitos apresentados permitem estabelecer os necessários procedimentos.

Assim, considere-se a determinação de um plano passando pelo ponto K paralelo a um plano definido pelos pontos A, B, O, dado (Fig. 4.15-a).

A existência de uma recta do plano dado contida num plano de nível, per­mite em outro plano de nível (ambos associados à projecção plana do próprio referencial) a definição de uma recta JK paralela à recta AB. Estabelecer

Uma recta concorrente com JKJ e paralela ao plano definido por ARO pode define-se o plano auxiliar ¶, (contendo BC).

A determinação de um plano auxiliar ¶2 paralelo ao plano ¶1 permite obter de imediato a recta KL concorrente com JK, paralela a BC e contida em ¶2, por forma a estabelecer um plano JKL paralelo ao plano definido pelos pontos A. B e C, dado (Fig. 4.15.b).

 

Fig. 4.14 - Determinação de uma recta paralela a outra em perspectiva.

 

Fig. 4.15 - Determinação de um plano paralelo a outro, em perspectiva.

 

No caso da determinação de rectas paralelas a um plano ou de um plano paralelo a uma recta, o procedimento é semelhante. Recorde-se para o efeito que se duas rectas são paralelas, qualquer plano contendo uma das rectas é paralelo à outra.

Analogamente uma recta pode ser determinada paralelamente a um plano desde que paralela a uma recta qualquer do plano.