seta2. Classificação das Projecções Geométricas Planas (PGP)

A "imagem" que se pode obter por representação em 2D de uma Forma (ou conjunto de Formas) existente em 3D, não obstante o carácter inequívoco que deve assumir, resulta de uma relação entre três entidades : - Observador - Objecto - Plano de Projecção.

O número ilimitado de diferentes modos de combinação destas entidades (considere-se como plano de projecção o filme no interior de um câmara e imagine-se a quantidade de fotografias possíveis de obter de um dado objecto!), permite obter um número ilimitado de Projecções Geométricas Planas (PGP) que induz na necessidade de uma classificação.

 

 

 


 

 

seta2.1. Posição do observador

No que se refere à distância do observador em relação ao objecto ou ao plano de projecção, são de considerar infinitas situações possíveis (Fig.2.1-a) a d)).

 

Fig. 2.1 - Algumas das infinitas distâncias possíveis do observador em relação ao plano de projecção.

 

A medida que a distância vai sendo cada vez maior, as projectantes tendem a tornar-se paralelas. Numa situação de limite, a distância do observador é infinita e as projectantes tornam-se definitivamente paralelas. 

Em termos de projectantes verificam-se assim dois tipos qualitativamente diferentes (não-perpendiculares e perpendiculares) e daí ser possível estabelecer uma classificação para as respectivas projecções. Precisamente as duas situações determinadas por: - Observador a uma distância finita; - Observador a uma distância infinita.

As projectantes (necessárias à delimitação do objecto) serão respectivamente (Fig.2.2):

 

- Cónica (ou Central),.porque constituem a configuração de uma superfície cónica.

- Cilíndrica (ou Paralela) porque constitui a configuração de uma superfície cilíndrica.

 

Fig. 2.2 - Projecção cónica (a) e cilíndrica (b)

 

De um modo sintético poder-se-á então estabelecer:

 

 

Central ou Cónica

d        /=/    

PGP

 

 

 

Paralela ou Cilíndrica

d =  

 

sendo d a distância do Observador ao Plano de Projecção.

 

 


 

 

seta2.2. Posição do Objecto

Por sua vez, associando ao objecto e ao plano de projecção referencias cartesianos, respectivamente XYZ e xyz (Fig. 2.3) é imediato admitir infinitas posições do objecto em relação ao plano, correspondentes a outros tantos valores dos possíveis ângulos formados pelos eixos X - x, Y - y e Z - z percorrendo o conjunto dos números reais, a que correspondem por sua vez outras tantas representações com ou sem deformação de alguma(s) da(s) dimensões, mas quantificáveis através de um coeficiente: coeficiente de redução.

 

Fig. 2.3 - Referenciais associados ao objecto e ao plano de projecção

 

 


 

 

2.2.1. Projecção Paralela ou Cilíndrica

No âmbito da Projecção de Tipo Paralelo ou Cilíndrico (observador a uma distância infinita do plano de projecção) são consideradas fundamentalmente duas situações:

 

Os ângulos X^x = Y^y = 0º ou 180º, isto é eixos homólogos paralelos, (Fig. 2.4-a): Projecção Ortogonal (simples)

Os ângulos X^x, Y^y, Z^ z, podendo ser ou não iguais entre si, mas estabelecendo sempre valores diferentes de 0º , 90º ou 180' (Fig. 2.4-b): Projecção Axométrica

 

Fig. 2.4 - Possibilidades qualitativamente diferentes dos ângulos dos referenciais do objecto e do plano de projecção:

    a) Projecção Ortogonal (simples) 

    b) Projecção Ortogonal Axonométrica.

 

Em ambos os casos o observador "está sobre o eixo dos z e observa segundo um feixe de projectantes (paralelo) ortogonal em relação ao plano de Projecção. Trata-se assim e em ambos os casos de Projecções ortogonais.

No caso de o observador se "situar fora" do eixo dos Z, o eixo de projectantes embora paralelo  (d = ∞ ), não é ortogonal em relação ao Plano de Projecção e o tipo de projecção designa-se Oblíquo (Fig. 2.5).

 

Fig. 2.5 - Projecção Oblíqua: Feixe de projectantes (paralelo) oblíquo em relação ao plano de projecção.

 

Estabelecem-se assim as situações seguintes em termos de Classificação de Projecções Geométricas Planas:

 

 

Central ou Cónica              d /= 

    
     

 Simples

PGP

 

Ortogonal

 
     

Axonométrica

 

Paralela ou Cilíndrica          d = 

   
   

Oblíqua

 

 

sendo d a distância do Observador ao Plano de Projecção.

 

 


 

 

seta2.2.1.1. Ortogonal

A designação PGP Paralela Ortogonal Simples ou PGP Paralela Ortogonal Múltipla refere-se à possibilidade de obtenção de diferentes projecções ortogonais de um mesmo objecto correspondentes a diferentes combinações das relações X^x Y^y, Z^z, restritas no entanto aos valores já especificados para este 'grupo' da classificação, de 0º 90º ou 180º. A obtenção de diferentes projecções de um mesmo objecto nestas condições (vistas) criteriosamente seleccionadas (ver 3.1) permite uma total e inequívoca representação de qualquer objecto. De entre o "grupo" da Projecção Ortogonal distingue-se também o "subgrupo' da PGP Paralela Ortogonal Axonométrica, já definido. Este grupo que envolve à partida infinitas possibilidades caracteriza-se por resultar na obtenção de uma representação com deformação da verdadeira relação de dimensões do objecto segundo as direcções X, Y e Z. Verifica-se no entanto que há duas situações bem determinadas, isto é dois conjuntos de valores dos ângulos X^ x, Y ^ y e Z^z, para os quais essa deformação é tão pequena que pode ser desprezada ou embora significativa é bem conhecida e quantificável pelo que pode admitir-se a representação correspondente desde que se tenha em consideração essa deformação através de um correspondente coeficiente de redução. A estas duas situações correspondem respectivamente as projecções axonométricas lsométrica e Dimétrica.
Todas as restantes possibilidades para o conjunto de valores dos ângulos entre os eixos do referencial associado ao plano de projecção e os eixos do referencial associado ao objecto incluem-se num subgrupo de PGP paralela ortogonal Axonométrica Trimética.

 

 


 

 

seta2.2.1.2. Oblíqua 

Das infinitas possibilidades de relação observador-objecto-plano de projecção na situação de feixe de projectantes paralelas embora oblíquas em relação ao plano de projecção é seleccionado em termos de utilização prática corrente a situação de ângulos X - x, Y - y e Z - z de 0º, considerando neste caso o observador fora" do eixo dos Z. Restringe-se no entanto a posição do observador à situação de se estabelecer um ângulo entre a direcção do feixe de projectantes e o plano de projecção de 45º e coeficientes de redução de 0.4 a 1.0.

Por outro lado é ainda usual em certos casos considerar o plano de projecção ser coincidente com o plano definido pelos eixos x - z, e também um ângulo de 45º do feixe de projectantes paralelas. No primeiro caso as projecções oblíquas mais comuns, são a cavaleira (coef. de redução: 1.0) e a de gabinete (coef. de redução: 0.5); no segundo caso designa-se militar.

 

 


 

 

seta2.2.2. Projecção Central ou Cónica

A projecção central ou cónica e que se refere ao grande grupo" de projecções para as quais o observador se situa a uma distância finita do plano de projecção é por esta mesma razão a situação em que a representação obtida mais se aproxima do modo como "se vê a realidade". É com efeito o tipo de representação que se obtém através da fotografia. Apreciável deformação no que se refere às relações de dimensões segundo as direcções do referencial associado ao plano de projecção é inevitável, como seria de esperar, por ser variável de ponto a ponto, a distância entre projectantes, segundo a direcção visual do observador. É no entanto o tipo de representação mais "perfeita" de um objecto ou conjunto de objectos e por isso mais facilmente legível por um maior conjunto de pessoas principalmente não familiarizadas com este assunto. Não deixa de ser interessante referir que embora sendo uma representação mais deformada que qualquer outra (referimo-nos ao grupo das Projecções Paralelas ou Cilíndricas), é no entanto a mais legível. Ë uma deformação semelhante , à da representação por projecção central ou cónica que o olho humano capta e que no entanto sabemos corrigir intuitivamente. O clássico exemplo da via férrea - duas linhas paralelas que de facto não se vêem paralelas, não se apresentam paralelas (em projecção central) e no entanto sabemos "corrigir" e afirmar que o são (Fig. 2.6). De facto trata-se de um processo de inteligência humana e de mecanismo de percepção.

 

Fig. 2.6 - Foto (a) de uma via férrea e representações; b) aproximação a uma projecção central; c)  representação em projecção paralela

 

A simples experiência de viver desencadeou a capacidade de percepcionar e aprender a ver "corrigindo" o que se vê. Por se tratar de uma representação tão próxima do modo como se vêem os objectos, a esta projecção também se atribuí a designação de perspectiva rigorosa.

Por outro lado e dadas as possibilidades de localização do observador - ponto de vista, de entre as situações de se manter a uma distância finita do plano de projecção, é possível obter diferentes tipos de projecção central ou cónica (que aqui não será considerada.). São considerados os três tipos seguintes: Paralela, Angular e Oblíqua.

 

 


 

 

2.3. Síntese de classificação das PGP 

Na sequência da caracterização ao longo de 4.2.1. e 4.2.2., uma classificação global das projecções geométricas planas é geralmente apresentada do seguinte modo:

 

 

Central ou Cónica              d /= 

Paralela

Angular

Oblíqua

    
     

 Múltipla

 

PGP

 

Ortogonal

   
     

Axonométrica

Isométrica

Dimétrica

Trimétrica

 

Paralela ou Cilíndrica          d = 

     
   

Oblíqua

Cavaleira

Gabinete

Militar

 

 

sendo d a distância do Observador ao Plano de Projecção.